Dec 23

Exemple de variété riemannienne

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En supposant que le collecteur est complet, les deux points x et y peuvent être reliés par un géodésique dont la longueur est d (x, y). Si f est un difféomorphisme, ou plus généralement une immersion, alors il définit une métrique riemannienne sur M, la métrique de recul. En outre, la propriété Heine – Borel détient des collecteurs riemannienne (dimension finie): M est compact si et seulement s`il est complet et a un diamètre fini. L`ensemble des représentants des cosets est appelé domaines fondamentaux. Si M est complet, alors M est non extensible en ce sens qu`il n`est pas isométrique à un sous-collecteur ouvert de tout autre collecteur riemannien. Par conséquent, l`Atlas complexe est un Atlas orienté. En mathématiques, en particulier dans l`analyse complexe, une surface Riemann est un collecteur complexe unidimensionnel. Géométriquement, ceux-ci correspondent à la courbure négative, la courbure zéro/plat, et la courbure positive: énonçant le théorème d`uniformisation en termes de géométrie conforme, chaque surface Riemann connectée X admet une métrique Riemann réelle bidimensionnelle complète avec courbure constante − 1, 0 ou 1 induisant la même structure conformale – chaque métrique est conforme conformellement à une métrique de courbure constante. Le faisceau Tangent d`un collecteur lisse M assigne à chaque point fixe de M un espace vectoriel appelé espace tangent, et chaque espace tangent peut être équipé d`un produit intérieur.

Albert Einstein a utilisé la théorie des collecteurs riemannienne (formellement Pseudo-riemannienne collecteurs) pour développer sa théorie générale de la relativité. C`est-à-dire que la courbure ne dépend pas de la façon dont la surface peut être incorporée dans l`espace tridimensionnel. Par changement de variables, l`Arclength est indépendant de la parametrization choisie. La sphère Riemann C ∪ {∞} est le seul exemple. La surface X est appelée hyperbolique, parabolique, et elliptique, respectivement. Inverser cela est accompli par le j-invariant j (E), qui peut être utilisé pour déterminer τ et donc un tore. L`ensemble des représentants des cosets de H/Γ sont des ensembles libres réguliers et peuvent être façonnés en polygones fondamentaux métriques. Pour cette propriété, on peut utiliser un système de coordonnées normal, qui permet également de montrer que la topologie induite par d est la même que la topologie d`origine sur M. Le célèbre théorème de cartographie de Riemann stipule que tout sous-ensemble strict ouvert du plan complexe est biholomorphe au disque de l`unité. L`appellation vient de l`histoire: les fonctions elliptiques sont associées à des intégrales elliptiques, qui à leur tour apparaissent dans le calcul de la circonférence des ellipses).

Bernhard Riemann a étendu la théorie de Gauss aux espaces plus dimensionnels appelés collecteurs d`une manière qui permet également de mesurer les distances et les angles et de définir la notion de courbure, de nouveau d`une manière intrinsèque au collecteur et non dépendante de son l`incorporation dans des espaces de plus haute dimension. Poursuivant dans cette veine, les surfaces compactes de Riemann peuvent se cartographier sur des surfaces du genre inférieur, mais pas vers un genre plus élevé, sauf comme des cartes constantes. Pour chaque surface hyperbolique Riemann, le groupe fondamental est isomorphe à un groupe Fuchsien, et donc la surface peut être modélisée par un modèle Fuchsien H/Γ où H est le demi-plan supérieur et Γ est le groupe Fuchsian. Par conséquent, une couverture finie ETALE de $X $ est un tore complexe, et la métrique tire en arrière pour être invariant de la traduction.

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